數(shù)學(xué)教學(xué)管理政策以及數(shù)學(xué)應(yīng)用方式等等方面都是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)工作者十分在意的方面，同時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革和管理模式也是大家都要了解的方面。

　　摘要：課堂上的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),有的探究過(guò)程簡(jiǎn)明扼要,有的則要繞很大的“彎子”,但都是源于學(xué)生認(rèn)知需求的即時(shí)生成,都綻放著個(gè)性的光芒,凸顯著個(gè)體探求未知領(lǐng)域的激情.

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué),數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)論文

　　一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的兩個(gè)案例

　　【案例1】這個(gè)圖形穩(wěn)定嗎?

　　教學(xué)人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《三角形的穩(wěn)定性》一課,在對(duì)學(xué)生已經(jīng)獲得的“三角形的穩(wěn)定性”和“四邊形的不穩(wěn)定性”的知識(shí)的應(yīng)用環(huán)節(jié),筆者設(shè)計(jì)了這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng):

　　如圖1,在六邊形ABCDEF的木框中,至少添加幾根木條,才能使整個(gè)木框保持穩(wěn)定?

　　推薦期刊：《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》雜志是由西南大學(xué)主管,西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院與重慶數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主辦的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究類(lèi)期刊,創(chuàng)刊于1979年。近30年堅(jiān)持為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的辦刊宗旨;堅(jiān)持與時(shí)俱進(jìn),始終站在數(shù)學(xué)教育研究的前沿;堅(jiān)持貼近教學(xué)實(shí)際,貼近讀者要求,為讀者提供實(shí)用、優(yōu)質(zhì)的教學(xué)研究平臺(tái)與資源。

　　學(xué)生經(jīng)過(guò)自主探究,畫(huà)出了4種添加方法,如圖2~圖5所示.

　　觀察發(fā)現(xiàn),這4種方法可以分為兩類(lèi):圖2~圖4為一類(lèi),都是添加了3根木條,將原有的六邊形ABCDEF分解成了四個(gè)三角形,根據(jù)“三角形的穩(wěn)定性”,此時(shí),木框是能夠保持穩(wěn)定的;圖5則是另一類(lèi),只添加了兩根木條,沒(méi)有形成固定的三角形,所得的圖形顯然是不穩(wěn)定的.

　　正準(zhǔn)備對(duì)圖5中的方法加以糾正,突然,一位學(xué)生站了起來(lái),說(shuō)道:“如果我在兩根木條AD與BE的交點(diǎn)O處釘上一個(gè)釘子,整個(gè)圖形不就穩(wěn)定了?”此話一出,全班爭(zhēng)論聲頓起,有學(xué)生贊同他的說(shuō)法,也有學(xué)生認(rèn)為圖形仍然是不穩(wěn)定的.

　　該生的突發(fā)奇想已經(jīng)偏離了預(yù)設(shè)的教學(xué)活動(dòng).因?yàn)?根據(jù)活動(dòng)要求,是不可以加“釘子”的.但是學(xué)生的爭(zhēng)論不休源于沒(méi)有與之關(guān)聯(lián)的生活經(jīng)驗(yàn),經(jīng)驗(yàn)的缺失導(dǎo)致了爭(zhēng)議——是“穩(wěn)定”還是“不穩(wěn)定”,僅憑言語(yǔ)是無(wú)法讓人信服的.

　　稍加思考,我做出決定,用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)給出有力的回答:

　　將小組中的原有學(xué)具拆開(kāi),釘出一個(gè)如圖1所示的六邊形木框ABCDEF,并用兩根木條分別固定A、D兩點(diǎn)和B、E兩點(diǎn).設(shè)AD與BE的交點(diǎn)為O,請(qǐng)?jiān)贠點(diǎn)處不釘釘子和釘上釘子這兩種情況下,分別拉動(dòng)六邊形,看其形狀是否會(huì)發(fā)生變化,并試著去說(shuō)明穩(wěn)定與不穩(wěn)定的理由.

　　10分鐘后,學(xué)生經(jīng)過(guò)探究、交流,歸納得出如下結(jié)論:

　　(1)在O點(diǎn)處不釘釘子時(shí),整個(gè)圖形能夠拉動(dòng),圖形不穩(wěn)定;在O點(diǎn)處釘上釘子后,整個(gè)六邊形木框ABCDEF無(wú)法拉動(dòng),也就是說(shuō)圖形是穩(wěn)定的.

　　(2)當(dāng)O點(diǎn)處不釘釘子時(shí),拉動(dòng)六邊形的過(guò)程中,AD與BE的交點(diǎn)O在AD和BE上移動(dòng),隨著O點(diǎn)的移動(dòng),圖5中的四邊形,如AOEF、BODC,它們的形狀都在發(fā)生變化,整個(gè)圖形自然就不穩(wěn)定了;而如果在O點(diǎn)處釘上釘子,圖5中的AO、BO、EO、DO的長(zhǎng)度和∠AOE、∠BOD的度數(shù)等都已經(jīng)固定,雖然圖5的AE、BD沒(méi)有連起來(lái),但實(shí)際上其長(zhǎng)度也已經(jīng)固定,這樣一來(lái),原六邊形被分成了多個(gè)三角形(根據(jù)全等三角形的判定方法,圖中形成的三角形都是唯一的),如△AOB,△DOE,△AOE,△AEF,△BOD,△BCD等,這些三角形的存在使得整個(gè)圖形必然是穩(wěn)定的.

　　在這個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中,學(xué)生將六邊形ABCDEF引發(fā)的問(wèn)題化歸為三角形問(wèn)題,進(jìn)一步鞏固了本課所學(xué)的新知“三角形具有穩(wěn)定性”;同時(shí),更加深了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟,如“釘釘子”與“不釘釘子”體現(xiàn)的是分類(lèi)討論的思想,將六邊形轉(zhuǎn)化為三角形體現(xiàn)的是化歸的思想,而最終通過(guò)三角形來(lái)說(shuō)理則是模型思想.值得一提的是,實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,學(xué)生在“行”和“不行”之間反復(fù)探究,在“是”與“非”之間充分辨析,積累下了無(wú)形財(cái)富——數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

　　【案例2】這樣能證明“三角形的內(nèi)角和定理”嗎?

　　人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《三角形的內(nèi)角》一課,在探究“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一定理時(shí),教材設(shè)計(jì)了如下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):

　　在紙上畫(huà)一個(gè)三角形,將它的內(nèi)角剪下來(lái)拼合在一起,就得出了一個(gè)平角.從這個(gè)操作過(guò)程中,你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎?

　　課堂上,學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究,給出了4種拼圖(如圖6~圖9).通過(guò)圖中的輔助線l,學(xué)生很快就得出了證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的方法.

　　我追問(wèn):“還有其他得出輔助線的方法嗎?提出你的猜想.”

　　學(xué)生圍繞輔助線的情況,提出了兩個(gè)問(wèn)題:(1)如果只撕下一個(gè)角,還能得到直線l嗎?(2)如果不撕角,是否可以將∠A翻折下來(lái),使A點(diǎn)正好落在BC上的A'處,而且翻折后得到的∠A'的兩邊正好分別與原三角形的AC,AB邊平行?

　　圍繞這兩個(gè)猜想,我安排了如下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):(1)撕下三角形紙片的一個(gè)角,將其與三角形的另一內(nèi)角拼合到一起,探究證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路.(2)將∠A翻折下來(lái),使A點(diǎn)正好落在BC上的A'處,翻折后∠A'的兩邊能否正好分別與AC,AB邊平行?如果能,請(qǐng)?zhí)骄砍鲎C明“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路.

　　接下來(lái),學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究.在各學(xué)習(xí)小組組長(zhǎng)的組織下,通過(guò)拼合、折疊等方法,得出了如下實(shí)驗(yàn)結(jié)果:

　　如圖10,通過(guò)只剪下一個(gè)角構(gòu)造出平行于AB的直線l,然后根據(jù)“兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)”,便可證出“三角形的內(nèi)角和為180°”.如圖11,在BC邊上找到了一個(gè)符合猜想(2)的點(diǎn)A'——形成的四邊形ADA'E為菱形,其中A'D//AC,A'E//AB,所以∠B=∠CA'E,∠C=∠BA'D,所以∠A+∠B+∠C=∠DA'E+∠CA'E+∠BA'D=180°.

　　弗賴登塔爾說(shuō):“數(shù)學(xué)知識(shí)既不是教出來(lái)的,也不是學(xué)出來(lái)的,而是研究出來(lái)的.”作為獲取數(shù)學(xué)認(rèn)知的一種重要手段,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也是學(xué)生獲取新知的重要途徑,它能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并找出“嚴(yán)格”證明結(jié)論的途徑.這則數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是很好的例子.在兩輪“剪角拼圖”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生按照“剪下的角的個(gè)數(shù)”,分兩種情況進(jìn)行了探究,發(fā)現(xiàn)了多種拼圖方法,并從中抽象出用于證明定理的輔助直線L這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程,為“三角形的內(nèi)角和定理”的證明鋪平了道路.

　　二、關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思考

　　(一)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式

　　數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),源于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要.無(wú)論是新知探究還是舊知回顧,抑或是知識(shí)的綜合應(yīng)用,學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、合理猜想,拓寬了學(xué)習(xí)道路,發(fā)展了幾何直觀和推理能力,感受到數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值.

　　本文中的兩個(gè)案例僅是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的“滄海一粟”,但就是這樣的“一粟”,也足以吸引學(xué)生的眼球.學(xué)生通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)探究,在不斷試誤后,最終得出了正確的結(jié)論.學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、理性辨析提出的設(shè)想——否定錯(cuò)誤的猜想,并為正確的結(jié)論找尋出嚴(yán)格論證的路徑.這種具體的、可視的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),為學(xué)生提供了切實(shí)可行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,讓他們突破了“埋頭死讀書(shū)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困境.

　　(二)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要充足的時(shí)間做保證

　　在充滿著教學(xué)期待的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,多一分鐘的等待,就可能會(huì)多出一份別樣的精彩.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一般都要經(jīng)歷“提出設(shè)想—實(shí)驗(yàn)探究—觀察思考—推理說(shuō)明”的過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中,充足的實(shí)驗(yàn)時(shí)間將會(huì)讓學(xué)生的探究和生成更加充分、到位,有助于結(jié)論的形成和接下來(lái)的推理說(shuō)明.在兩個(gè)案例中,筆者都留給了學(xué)生10分鐘的實(shí)驗(yàn)探究時(shí)間.在這10分鐘的時(shí)間里,有些學(xué)生經(jīng)過(guò)了多次反反復(fù)復(fù)的實(shí)驗(yàn)探究,得出了自認(rèn)為準(zhǔn)確的結(jié)論,而在與同伴交流后卻又發(fā)現(xiàn)自己的失誤,于是實(shí)驗(yàn)不得不重來(lái)一次.“重來(lái)一次”,這就又需要時(shí)間.只有有了充足的時(shí)間,學(xué)生才可以有效地調(diào)控實(shí)驗(yàn)進(jìn)程,正確地調(diào)整影響實(shí)驗(yàn)成果的數(shù)學(xué)因素,減少實(shí)驗(yàn)中非數(shù)學(xué)因素的干擾,避免無(wú)謂的實(shí)驗(yàn)失誤,確保實(shí)驗(yàn)成果準(zhǔn)確有效、合乎規(guī)律.由此,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)順利展開(kāi),在舊知識(shí)的“提取”和新知識(shí)的鞏固中,學(xué)生思維的深度和廣度都得到了拓展.

　　(三)教師要參與實(shí)驗(yàn)并提供必要的幫助

　　作為課堂教學(xué)的“組織者、引導(dǎo)者、合作者”,教師應(yīng)參與到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中去,指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)方法,協(xié)助學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)生成.尤其在學(xué)生實(shí)驗(yàn)遇到困難時(shí),教師應(yīng)及時(shí)指點(diǎn)迷津,讓學(xué)生脫離“困境”.這種處于實(shí)驗(yàn)關(guān)鍵時(shí)點(diǎn)的“幫助”,不是為了“錦上添花”,只求實(shí)現(xiàn)“雪中送炭”,促成實(shí)驗(yàn)的高效推進(jìn)和成果的及時(shí)生成.

　　(四)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成果要及時(shí)“數(shù)學(xué)化”

　　這里的“數(shù)學(xué)化”,是指將“實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題”.弗賴登塔爾認(rèn)為,“在‘一浪接一浪’的數(shù)學(xué)化進(jìn)程中,學(xué)習(xí)者經(jīng)歷了一個(gè)又一個(gè)由現(xiàn)實(shí)的情景問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題,由不那么嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體驗(yàn)到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過(guò)程”.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)無(wú)論實(shí)驗(yàn)成功與否,其生成都是豐富的,都一定會(huì)產(chǎn)生眾多的實(shí)驗(yàn)“成果”.這些實(shí)驗(yàn)“成果”緊貼學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),非常接“地氣”.教師應(yīng)及時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生梳理實(shí)驗(yàn)中形成的成果,并使之“數(shù)學(xué)化”,賦予數(shù)學(xué)的圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)化的結(jié)論,以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成果的“數(shù)學(xué)化”,一方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值,讓學(xué)生進(jìn)一步感悟“數(shù)學(xué)是有用的”,形成數(shù)學(xué)建模的意識(shí)和思維慣性;另一方面,將數(shù)學(xué)知識(shí)和生活情境緊密聯(lián)系了起來(lái),讓學(xué)生“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題”,促進(jìn)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)與完善.