摘 要：“彈性力學”課程是工科專業一門重要的專業基礎課，課程較為抽象，公式推導較多，學生普遍感覺難學。結合多年課程教學的經驗，探討了“彈性力學”課程中力矩、內力和方向余弦等量的正負號規定，明確說明了極坐標下各坐標軸的正負號規定，這是對教材的有效補充;將相容方程分為應變、應力和應力函數表達式三類并進行了歸納，更便于學生理解;編制了彈性力學平面問題的可視化求解軟件，實現對圓筒受均布力、壓力隧洞、小孔口問題等十個典型問題的可視化求解，教學效果良好。

　　關鍵詞：彈性力學;可視化;正負符號;相容方程

　　一、前言

　　“彈性力學”課程是工科專業一門重要的專業基礎課，是學習塑性力學、土力學的基礎，也是工科學生擺脫材料力學桿式構件分析結果的束縛，向板、面和空間體分析拓寬的重要課程。該課程主要是通過考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，在邊界上嚴格考慮受力條件和約束條件，建立微分方程和邊界條件來解決力學問題。課程對高等數學中的微積分、偏微分方程求解和級數，以及解析幾何、線性代數等知識的依賴性較高，且較為抽象，公式推導較多，學生學習普遍感覺較難。因此，開展“彈性力學”課程教學方法的研討十分重要。祝方才總結了彈性力學教學中的疑點[1]，論述了符號規定、差分公式和極坐標的推導三個方面的認識，提出了比教材更為清晰的推導過程。潘東輝采用 MATLAB 軟件提供的 PDE 工具箱對彈性力學中小孔口問題、圓環受內外壓力作用等多個命題進行了計算分析[2]，指出該工具箱的橢圓型偏微分方程的解實質是求解彈性力學平面問題的數值解法，可以方便求解彈性力學的平面問題，并且可以實現結果的可視化，是進行彈性力學教學的有力輔助手段。張偉偉提出了在教學實施中遵循先工程[3]，后數理，再力學的講解順序的三段式教學方法，便于學生理解和掌握。這些論述對提升彈性力學課程的教學效果有較大的促進作用。本文針對徐芝倫編著的彈性力學經典教程——《彈性力學簡明教程》，結合多年工科專業“彈性力學”課程的教學實際，對課程教學中學生難掌握的幾個難點問題進行論述和推導，力求加深教師和學生對這些問題的理解。

　　二、符號規定

　　彈性力學求解中均是在一定的坐標體系下進行，對各個變量的符號有較為嚴格的規定，求解應該在這個符號體系下進行，否則將得到不正確的結果。教材中對于應力、應變和位移，以及面力和體力符號均有明確的規定，但是對于力、力矩、剪力和極坐標下的部分符號的規定不明確，不利于學生的理解和掌握，需要進一步厘清。

　　(一)力矩 M 的符號規定

　　教材中講授平面問題時對于力矩的正負號規定沒有明確指出，而只是在講述薄板彎曲時才明確提到，但是在平面問題中，特別是列出圣維南原理的積分方程中需要明確力矩的正負號。力矩的正負號應該分為應力引起的力矩和外力引起的力矩兩類，兩者之間是有區別的。對于面力引起的力矩，也應該先將力矩根據其作用方向概化為分布的面力(一般直接概化為直線分布最為簡單)，然后依據“面力符號與力臂符號相同時力矩為正;反之為負”的原則進行正負號的判斷，見圖 1(a)。對于應力引起的力矩的正負規定應該是：“應力符號與力臂符號相同時力矩為正;反之為負”。確定應力引起的力矩正負時，先應該將應力概化為沿正負兩側力臂的分布應力(一般直接概化為直線分布最為簡單)，利用以上原則確定力矩的正負號，見圖 1(b)。

　　圖 1 看出，力矩 M的方向一致，但是應力引起的力矩的符號為負，而面力引起的力矩為正，兩者符號不同，這是在負面上的情況。在正面上兩者的符號相同，主要原因是應力和面力符號規定不同造成的，在列出圣維南原理的積分方程是應該注意區分應力和面力引起的力矩的符號區別。

　　(二)面力和體力的合力及內力的符號規定

　　應力是單位面積上分布的內力，內力是一種力，等于應力乘以面積。在進行平衡方程推導時，要建立某一個方向上的平衡，也就是通過該方向上合力為 0 這一條件建立平衡方程時，需要確定內力的正負號。內力是一種力，是合力，其符號規定應該是“與坐標軸指向相同的為正，反之為負”。內力的方向與應力的方向一致，但是其符號規定與應力“正面正方向和負面負方向為正，反之為負”的規定不同，在正面上兩者相同，而負面上兩者相反。其他面力合力和體力合力的正負號規定也是“與坐標軸指向相同的為正，反之為負”。理解這些概念對平衡方程的推導有較大的幫助。

　　(三)方向余弦的符號規定

　　方向余弦是求解斜截面應力所必需的參數，其意義在于邊界面的外法線方向的正方向與坐標軸正方向之間夾角的余弦值。在教學中發現，很多學生對其正負號如何確定不理解，影響對計算推導掌握。實際上，方向余弦的正負是按照余弦函數計算得到的，要理解其正負規定，應該從夾角的意義理解，特別應該知道兩個“正方向”之間的夾角的余弦這句定義。另外根據余弦函數的值的特性可知，不同象限的方向余弦正負不同，第一象限中不論 x 和 y 方向的方向余弦 l 和 m 均為正值;第二象限 x 方向的方向余弦為負值，y 方向為正值;第三象限 x 方向的方向余弦為負值，y 方向為負值;第四象限 x 方向的方向余弦為正值，y 方向為負值。實際判斷時應該按照外法線方向所在的象限來判斷方向余弦的正負號。

　　(四)極坐標情況下的符號規定

　　極坐標與直角坐標是彈性力學求解的兩種坐標體系，但是在教學中發現學生對兩種坐標體系之間的聯系理解不深，應該在講授中加以說明。實質上，極坐標與直角坐標之間是緊密相關的，極坐標的方向離不開直角坐標;兩者之間的量是可以相互轉化的，也有密切的關系。極坐標中徑向 ρ 的正向就是從原點向外射線的方向，而環向 φ 的正向決定于相應的直角坐標的 x 和 y 軸的方向，即以 x 軸轉向 y 軸的方向為正，不能按照逆時針或者順時針為正來確定，同時 φ的大小是徑向射線正向與 x 軸之間的夾角。

　　三、相容方程的歸納

　　相容方程是應力法求解彈性力學問題的重要方程，引入應力函數后問題的求解轉化為求解相容方程的問題。但是相容方程從幾何方程推導出后稱為變形協調方程，帶入物理方程等后還有用應力表達的相容方程，各類相容方程之間的關系會造成學生理解的偏差，對其進行歸納總結便于學生對其深入理解掌握。對于直角坐標情況，相容方程可以分為應變表達式、應力表達式和應力函數表達式三類，應變表達式是從幾何方程中消除位移量后得到的方程，是相容方程的本質方程，也稱為變形協調方程;應力表達式是物理方程帶入相容方程的應變表達式后得到的方程，表示各個應力分量應該遵循的關系方程;而應力函數表達式是引入應力函數后的表達式，是將求解應力分量問題“消元” 后成為 1 個未知量 φ 后的相容方程。三者的關系與異同可歸納為表 1。

　　另外極坐標的相容方程教材中給出的表達式為：式中：Φ 為應力函數;ρ，φ為極坐標兩個軸。這一個表達式沒有展開，在學生進行某一個函數是否滿足相容方程的校核中有一定困難，應該將其展開式列出。本文對該式進行了展開如下式(2)和(3)，這樣便于學生理解。

　　四、應力分量的合成與應力泡

　　王潤富編著的《彈性力學簡明教程學習》中第四章例題 6 關于劈裂問題的求解是一個很好的例子，對于學生理解半無限平面受集中力作用下應力的分布問題的啟發性較好，且是講解彈性力學解答應用的好例證。但是講解時應該注意強調兩點，其一為應力的合成方法，其二是應力泡的概念。

　　1.應力分量的合成方法。應力是一個張量，一點的應力要通過過該點的平行六面體上的所有應力分量來描述，這些量值中只有(σx，σv，σz，τxv，τvz，τx)六個量是獨 z 立的。同時一點的應力也可以用三個主應力和其方向決定。應力的合成原則是“作用于同一個面上的應力分量可以合成為一個應力全量，不同面上的應力分量不能合成”。只有建立這個概念才能理解應力的特性，也才能做對例題 6。

　　2.應力泡的概念。集中力 F 作用下半無限平面內過集中力作用點的直徑為 d 的圓，這個圓上的應力值為：也就是說在這個圓上任意一點，其受力類似單軸受壓，壓應力就等于 σp 值，圓周上任意點的應力均相等，且應力值的大小隨直徑 d 的增大而減小，這就是通常所說的應力泡。講解時應強調其應力主面就是徑向和環向兩個面，其應力的方向各點是不同的，應力的大小隨著應力泡直徑的增大而增大，也就是隨深度的增大而衰減。同時應將與大面積堆載時，應力不隨深度增大而減小的實際進行對比，強調兩者的區別。

　　五、彈性力學平面問題可視化軟件

　　在“彈性力學”課程的教學中，經常有復雜的數學公式和抽象的計算，不利于學生的理解。倘若在教學中，能夠通過一些教學小程序使計算出來的抽象的數值變成一些可視化的圖形，教學將變得更加生動，同時也利于學生接受。因此利用 Visual Basic 編程語言的繪圖能力，編制了一些簡單平面問題的可視化求解軟件。主要目的是使一些簡單問題的解題結果可視化，輔助教師的教學，使學生能對抽象的計算結果有更加清晰直觀的理解，引導學生進行深入思考。軟件中選擇了懸臂梁受集中荷載、梁受均布荷載、圓筒受均布力、壓力隧洞、小孔口問題、平面應力與平面應變問題、邊界條件、擋水墻、楔形體、半平面體邊界上受集中力總十個典型的問題進行求解。其基本界面展示如下圖 2。每一個典型問題軟件均實現了正確求解，并可以改變輸入參數得到不同的解答。軟件將抽象的計算結果轉變為可視化的圖形呈現給學生，便于學生理解和掌握�？梢暬�求解軟件還在教材的基礎上補充了教材未涉及的內容。例如：教材上壓力隧洞問題中僅展示了 n<1 時應力分布的圖像，而求解軟件通過改變參數能將 n>1 和 n=1 時的計算結果和圖形展示出來，將課本上的抽象計算結果可視化地展示出來，并在教材解答的基礎上進行擴展延伸，從而引發學生的深入思考，激發學生的學習興趣。軟件界面分為三部分。第一部分載入這道題目的相關信息，包含題干、問題的示意圖和使用半逆解法求解出的應力分量表達式。第二部分為數據輸入部分，在這個部分，使用者可以根據需要輸入問題的基本參數，為下一步計算應力分量做準備。第三部分為結果輸出部分，用于顯示計算和繪圖的結果。在實際教學中該軟件對學生理解彈性力學解的實質內涵，理解應力函數的分布空間規律幫助較大，教學效果良好。

　　六、結論

　　1.“彈性力學”課程中諸多符號的正負號規定較為嚴格，也極易弄錯，教材中對其的規定稍顯模糊。本文對力矩、面力和體力的合力、內力和方向余弦的符號規定做了較為仔細的規定，并對極坐標下各個坐標軸的正負號規定進行了明確的說明，可用于教學實踐。

　　2.相容方程是“彈性力學”課程較為重要的概念，它有三種表達形式。本文總結歸納為應變表達式、應力表達式和應力函數表達式三類，對其由來和意義進行了歸納說明，更便于理解和把握。

　　3.為了提高教學效果，編制了彈性力學平面問題的可視化求解軟件，軟件可以實現對十個較為典型問題的彈性力學問題的求解，如：懸臂梁受集中荷載、梁受均布荷載、圓筒受均布力、壓力隧洞、小孔口問題、平面應力與平面應變問題、邊界條件、擋水墻、楔形體、半平面體邊界上受集中力。軟件實現了對計算結果的圖形化顯示，便于學生理解抽象的函數，教學效果良好。

　　參考文獻：

　　[1]祝方才，肖宏彬，歐陽建湘.彈性力學教學中的幾個疑點問題[J]. 株洲工學院學報，2004，(2).

　　[2]潘東輝，馬崇武.MATLAB/PDE 在彈性力學可視化教學中的應用[J].力學與實踐，2014，(4).

　　[3]張偉偉，田錦邦.彈性力學的三段式教學方法[J].力學與實踐，2017，(2).

　　“彈性力學”教學中幾個難點問題的探討相關論文期刊你還可以了解：《《應用力學學報》科技期刊論文發表》