社會總產出由消費和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經濟的增長和資本的積累取決于消費和投資之間的比例。那么消費和投資之間的最優比例是什么?資本折舊率和貼現因子對總的社會效用產生什么樣的影響?

　　摘 要：基于AK理論建立了包含消費、投資、貼現因子和折舊率的效用最大化模型，運用漢密爾頓-貝爾曼方程對模型求解，得到最優消費路徑。通過最優消費路徑我們發現：折舊率與消費和資本負相關，貼現因子與消費負相關，與資本正相關。

　　關鍵詞：sci論文,最優消費路徑,哈密爾頓,現因子

　　一、引言

　　本文研究的是經濟增長的最優消費投資路徑，理論框架是持久收入假設和內生增長理論，選擇的模型是資本產出彈性為單位彈性的AK模型，這是因為資本在發展中國家的經濟增長中起到了重要作用，發展中國家可以通過購買外國的先進技術設備來發展本國的經濟，發揮自己的后發優勢。

　　二、模型

　　模型假定該國只生產一種產品，該產品既可以消費又可以投資，該產品作為投資品和消費品的時候，兩者之間可以相互轉換。經濟增長由資本決定，消費和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標是通過政策引導消費路徑，使行為人可以獲得最大效用。設生產函數為yt=Akt，其中A反映技術水平，yt、kt和 ct分別表示在t時期的生產量、資本量和消費量(ct≥0，kt≥0)，k0為初始資本量，得下面模型：

　　Max■βtln(ct)(1)

　　s.t. kt+1=yt+(1-δ)kt-ct，yt=Akt，

　　其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1;β為貼現因子，0<β<1;Max■βtln(ct)表示行為人追求一生消費效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態變量，本期的商品總供給和消費決定了下期的資本數量。令f(kt)=Akt+(1-δ)=kt=(A+1-δ)kt，上述限制條件轉化為：s.t. kt+1=f(kt)-ct， f(kt) =(A+1-δ)kt(2)

　　因為kt+1=f(kt)-ct，所以ct=f(kt)-kt+1，ct可以用kt的函數關系式來表示。求Max∑∞t=0βtln(ct)就是指在約束條件下，找到一個合適路徑使得目標函數的值最大。

　　為了求值方便，將(2)式轉化為連續形式，定義值函數S(k)。根據漢密爾頓方程，得：

　　s(k)=max{ln[f(k)-k]+βs(k)}=ln[f(k)-h(k)]+βs[h(k)](3)

　　在上式中，k相當于kt 、kt+1 ，指當期和下期的資本存量，h(k)是進行遞歸迭代的策略函數。S(k)、h(k)連續可微。我們估計

　　S(k)=M+Nln(k)(4)

　　對(3)、(4)進行一階求導，并逐期遞歸迭代可得到值函數Sn(k)：sn(k)=(■βi-1)ln(■)+βn-1ln(A+1-δ)+(■jβj)ln[■]+(∑ns=1βS-1)ln(k)

　　因為貼現因子0<β<1，易證：當n→∞時，Sn(k)的極限值存在， S(k)==limn→∞sn(k)的極限值就是序列的解。說明得到的函數方程和(4)式的值完全一致，解出M=■ln[(1-β)(A+1- δ)+■ln[β(A+1-δ)]，N=■。

　　將M和N代入(3)式和(4)式得：

　　sn(k)=■ln[(1-β)(A+1-δ)]+■ln[β(A+1-δ)]+■ln(k)(9)

　　h(k)=β(A+1-δ)k(10)

　　(9)式也就是目標函數的唯一解。對于任意k0>0，只要令k=g(k)=β(A+1-δ)k可得值函數的最優解。因為目標函數是離散型的，對于任意時期，只要令kt+1，=β(A+1-δ)k，目標函數必然取得最優解。此時，ct=(1-β)(A+1-δ)kt。

　　綜上，目標函數中消費和資本的最優解為：

　　從上式可以看出：當期消費ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負相關。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費的產品就越少。政府可以通過宏觀政策改變折舊率，加強資本的維護可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護現有資本的成本高于購置新資本，資本折舊率提高。

　　當期消費ct和貼現因子β負相關，下期資本kt+1和β正相關。說明貼現因子越小，當期消費越多，人們更愿意當期消費;貼現因子越大，人們更愿意在將來消費，下期的資本存量增加。政府可以通過調整利率和加強福利保障建設來調節貼現因子，從而引導消費和投資。

　　三、變量對函數S(k)的影響

　　S(k)指行為人在給定資本的情況下，一生所能達到的總效用。為了討論的方便，令s(β，δ，k)=■ln[(1-β)(A+1-δ)]+■ln[β(A+1-δ)]+■ln(k)(12)

　　由上式，我們不難發現：

　　1.當0≤β≤1時，■>0恒成立，即β值越大，s(β，δ，k)函數的值越大。由目標函數可知，β值越大，消費的效用越大。

　　2.■>0，s(β，δ，k)的值是資本存量k的增函數。K的值越大，可用于未來消費的產品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

　　3.■<0，δ的值越大，s(β，δ，k)的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

　　根據上文的假設，不難發現，行為人的消費越大，獲得的效用越大，但是消費的過大會引起資本的減少，從而使未來的消費減少，所以應合理地安排消費和投資。政府應該通過調節貼現因子和資本折舊率的值，來引導消費和投資之間的比率。