摘 要: 針對一種新的增量隨機(jī)過程———馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，基于可靠性數(shù)學(xué)思想，利用測度變換技巧將實(shí)際概率測度變換成等價(jià)鞅測度，研究了在此模型下連續(xù)時間的固定價(jià)格亞式期權(quán)定價(jià)問題; 通過亞式期權(quán)所滿足的概率密度轉(zhuǎn)移函數(shù)，將經(jīng)典的測度變換方法與擬鞅相結(jié)合，并推廣到受雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的 B-S 市場環(huán)境中，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法分別得到具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式; 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動不具有獨(dú)立性和平穩(wěn)增量性，更符合顯示情形，且與基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行比較分析，可知分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動只是雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的一種特殊情形，可基于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動對分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的亞式期權(quán)期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行推廣。

　　關(guān)鍵詞: 馬爾可夫調(diào)制; 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動; 亞式期權(quán); 等價(jià)鞅測度

　　0 引 言

　　隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和生活水平的提高，人們有越來越高的經(jīng)濟(jì)能力用于投資，由此衍生出來的各種各樣的期權(quán)定價(jià)也越來越受眾多投資者和學(xué)者的關(guān)注。學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動可以取代標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，而雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的高斯過程，適用范圍更加廣泛。文獻(xiàn)[1]利用保險(xiǎn)精算的方法給出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下最值期權(quán)的定價(jià)。亞式期權(quán)又被稱為平均價(jià)格期權(quán)，是一種新型路徑依賴型期權(quán)，它在到期日的損益依賴于合同期內(nèi)某段時間標(biāo)的資產(chǎn)的平均價(jià)格，這種路徑依賴型期權(quán)不僅減少期權(quán)到期時市場上的人為操控，也可以準(zhǔn)確地反映股票價(jià)格變化的趨勢，相對歐式期權(quán)而言，風(fēng)險(xiǎn)更小。因此研究亞式期權(quán)具有較大的現(xiàn)實(shí)意義。文獻(xiàn)[2]利用擬條件期望的方法，得到了受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的條件下，針對浮動執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)公式。文獻(xiàn)[3]通過 It^ o 公式推導(dǎo)出亞式期權(quán)所滿足的概率密度轉(zhuǎn)移函數(shù)，用無套利定價(jià)方法給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下幾何平均亞式看漲期權(quán)定價(jià)公式。文獻(xiàn)[4]利用了正態(tài)分布的性質(zhì)，采用保險(xiǎn)精算的方法對連續(xù)型幾何平均亞式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。本文利用馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動來描述 B-S 市場中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格動態(tài)，利用馬爾可夫鏈刻畫經(jīng)濟(jì)周期中的結(jié)構(gòu)變化，通過亞式期權(quán)所滿足的概率密度轉(zhuǎn)移函數(shù)，采用測度變換技巧將實(shí)際概率測度變換成等價(jià)鞅測度，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理分別得到具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式，且可基于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動亞式期權(quán)定價(jià)模型對分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行推廣。

　　1 模型假設(shè)

　　設(shè)( Ω，F(xiàn)，P) 為一概率空間，0

　　2 具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看漲、看跌期權(quán)定價(jià)公式

　　對于固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)，它的損益為 ξ1 = exp 1 T ∫ T 0 ( ) { } ln Su du - K + ( 3) 令 It = ∫ t 0 ln Su du，則 ξ1 ( = e I t T + 1 T ∫ T t ln SuS -1 t du + T-t T ln St ) - K + = ( XtYt - K) + ( 4) 其中，Xt = e 1 T ∫ t 0 ln Sudu S T-t T t ，Yt = e 1 T ∫ T t ln SuS -1du t 。注意到當(dāng)前時刻是 t 時刻，則 Xt 是已知的，由式( 2) 可得: Yt = e 1 T ∫ T t ln Su St du = e 1 T ∫ T t ( ∫ u r rsds-∫ u t 1 2 σ2 s ds2HK+ ∫ u t σs [ ] dW 珚HK) du = e 1 T ( ∫ T t∫ T s rsduds- 1 2 ∫ T t∫ T s σ2 s duds2HK) × e 1 T ∫ T t∫ T s σsdudW 珚HK = e 1 T ( ∫ T t rs( T-s) ds- 1 2 ∫ T t σ2 s( T-s) ds2HK) × e( 1 T ∫ T t σs( T-s) dW 珚HK) = e( r* ( t) +Zt ) ( 5) 其中， r * ( t) = 1 T ∫ T t rs ( T - s) ds - 1 2 ∫ T t σ2 s ( T - s) ds 2 ( ) HK Zt = 1 T ∫ T t σs ( T - s) dW 珚HK s 根據(jù)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的定義及性質(zhì)可得: EQ[Zt FX T]= 0 由分?jǐn)?shù)型等距公式[12]可得: DQ[Zt FX T ) ]= ∫ T t∫ T t ( T - u) ( T - ν) σuσνdudν T2 = σ* 2 T2 其中， σ* 2 = ∫ T t∫ T t ( T - u) ( T - ν) σuσνΦ ( u，v) dudν 那么 Zt FX T ∶ N 0， σ* 2 ( ) T2 ( 6) 令 ut 表示幾何平均亞式看漲期權(quán)的損益在當(dāng)前時刻的貼現(xiàn)值，則由式( 3) ( 4) 可得: ut = e -∫ T t rsds ξ1 = e -∫ T t rsds e 1 T ∫ T 0 ln Sudu ( ) - K + = e -∫ T t rsds ( XtYt - K) + ( 7) 令 a =Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 ，將式( 5) 代入式( 7) ，則 ut = e -∫ T t rsds ( aeZt - K) + ( 8) 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則，期權(quán)的現(xiàn)值就是到期收益的折現(xiàn)值關(guān)于等價(jià)鞅測度的數(shù)學(xué)期望，則期權(quán)在時刻 t 的價(jià)格可以表示為 Ct =E[ut Gt，T ) ]，Gt，T = FS t ∨FX T，由此可得如下定理。

　　2. 1 具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看漲期權(quán)定價(jià)公式

　　定理 1 具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)價(jià)格為 Ct = ST e -∫ T t rsds Φ ( d2 ) - Xter* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 ) 其中， d1 = T[ln Xt-ln K+r * ( t) ]+ σ* 2 T σ* = d2+槡b d2 = T[ln Xt-ln K+r * ( t) ] σ* 證明 根據(jù)式( 6) 中 Zt 的分布和式( 8) 確定 ut 的分布: Ft ( x) = Q( ut≤x Gt，T) = Q( ξ1≤xe∫ T t rsds Gt，T) = Q( aeZt -K≤xe∫ T t rsds Gt，T ) = Q( Zt≤ln( K+xe∫ T t rsds ) -ln a Gt，T ) = Φ ln( K+xe∫ T t rsds ) -ln a 槡 { } b 隨機(jī)變量 ut 的期望為 EQ[ut Gt，T ]= ∫ +∞ 0 xdFt ( x) = ∫ +∞ 0 xdΦ ln( K + xe∫ T t rsds ) - ln a 槡 { } b ( 9) 令 y = ln( K + xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b ，則 x = e( 槡b y+lna-∫ T t rsds) - Ke -∫ T t rsds ( 10) 把式( 10) 代入式( 9) 可得: EQ[ut Gt，T ]= ∫ +∞ -d2 e 槡b y+ln a-∫ T t rsds dΦ( y) - ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( y) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡b y dΦ( y) - ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( y) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡b y dΦ( y) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 1 槡2π e - 1 2 ( y-槡b ) 2 + b 2 dy - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d2 + 槡b ) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d1 ) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) ( 11) 將 a = Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 代入式( 11) 即可得: Ct = E[ut Gt，T ]= Xter* ( t) + σ* 2 2T2 - ∫ T t rs dsΦ ( d1 ) - Ke -∫ T t rsds Φ ( d2 )

　　2. 2 具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看跌期權(quán)定價(jià)公式

　　幾何平均亞式看跌期權(quán)的損益為 ξ2 = K - e 1 T ∫ T 0 ln Sud ( )u + ( 12) 令 a = Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 ，將式( 5) 代入式( 11) ，則它的損益在當(dāng)前時刻的貼現(xiàn)值為 νt = e -∫ T t rsds ( K - aeZt ) + 其看跌期權(quán)在時刻 t 的價(jià)格可以表示為 Pt = E[vt Gt，T]，Gt，T =FS t ∨FX T，由此可得如下定理。定理 2 具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看跌期權(quán)價(jià)格為 Pt = ST e -∫ T t rsds Φ ( d2 ) - Xter* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 ) 其中， d1 = T[ln Xt - ln K + r * ( t) ]+ σ* 2 T σ* d2 = T[ln Xt - ln K + r * ( t) ] σ* 證明 同理，由式( 6) 中Zt 的分布和式( 8) 可得損益 νt 的條件分布: Ft ( x) = Q( νt ≤ x Gt，T ) = Q( ξ2 ≤ xe∫ T t rsds Gt，T ) = Q( Zt ≥ ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a Gt，T ) = 1 - Φ( ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b ) 隨機(jī)變量 νt 的期望為 EQ[νt Gt，T ]= ∫ +∞ 0 xdFt ( x) = - ∫ +∞ 0 xdΦ ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡 { } ω = ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b 可得: x = Ke -∫ T t rsds - e( 槡bω +ln a-∫ T t rsds) ( 13) 所以 將 式 ( 13 ) 代入看跌期權(quán)的價(jià)格公式，可得: EQ[νt Gt，T ]= ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( ω) - ∫ +∞ -d2 e 槡bω +ln a-∫ T t rsds dΦ( ω) = ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( ω) - ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡bω dΦ( ω) = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 1 槡2π e - 1 2 ( ω -槡b ) 2 + b 2 dω = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d2 + 槡b ) = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d1 ) ( 14) 將 a = Xter* ( t) ，b = σ* 2 T2 代入式( 14) ，即可得: Pt = E[vt Gt，T]= Ke-∫ T t rsds Φ ( d2 ) -Xte r* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 )

　　3 結(jié) 論

　　通過等價(jià)-擬鞅測度變換，在市場利率、股票波動率和股票回報(bào)率均受 Markov 鏈調(diào)制的情形下得到了雙分?jǐn)?shù) B-S 市場的固定價(jià)格幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)公式，將經(jīng)典的測度變換方法與擬鞅相結(jié)合，并推廣到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動市場環(huán)境。在一定程度上，相對多數(shù)只研究分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動或市場利率、股票波動率和股票回報(bào)率均為常數(shù)的模型有所改進(jìn)。對于 Markov 鏈調(diào)制的受雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的浮動執(zhí)行價(jià)格的亞式期權(quán)定價(jià)公式有待進(jìn)一步研究。

　　參考文獻(xiàn)( References) :

　　[1] 姜禮尚. 期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法( 第二版) [M].北京: 高等教育出版社，2008 JIANG L S. Mathematical Models and Methods of Option Pricing [M].2nd edn. Beijing: Higher Education Press，2008

　　[2] 李丹，薛紅. 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的最值期權(quán)的定價(jià)[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版) ，2017，38 ( 1 ) : 23—26 LI D，XUE H. Pricing Minimum or Maximum Option in Bi -fractional Brownian Motion Environment[J]. Journal of Ningxia University ( Natual Science Edition) ，2017，38 ( 1) : 23—26

　　[3] 沈明軒，何朝林. 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境中幾何平均亞式期權(quán)的定價(jià)[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)( 理學(xué)版) ，2013，48 ( 3) : 48—52 SHEN M X，HE C L. Pricing of Geometric Average Asian Option in Fractional Brown Motion Environment[J]. Journal of Shandong University ( Natural Science Edition) ，2013，48( 3) : 48—52

　　[4] 肖艷清，鄒捷中. 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動下一致連續(xù)的 BSDE 解的存在性與唯一性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012， 35( 2) : 245—251 XIAO Y Q，ZOU J Z. Existence and Uniqueness of the Solution to BSDE Driven by Fractional Brownian Motion with the Generator is Uniformly Continuous in z[J]. Chinese Journal of Applied Mathematics，2012，35 ( 2) : 245—251

　　馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下亞式期權(quán)定價(jià)相關(guān)論文期刊你還可以閱讀：《數(shù)學(xué)教學(xué)國家級期刊》