摘要：本文通過具體案例，簡要說明根據時間序列數據建立和相應經濟理論建立線性回歸模型的簡要步驟及基本原則，并著重介紹了在模型建立和模型有效性檢驗過程中需要注意的三個主要問題，最后簡單介紹了進行模型修正的相應方法。
　　一、 引言
　　多元線性回歸模型的一般形式為：
　　Y=β0+β1X1+β2X2+…+βkXk+μi(k,i=1,2,…,n)
　　其中k為解釋變量的數目，βk（k=1,2,…,n)稱為回歸系數,上式也被稱為總體回歸函數的隨機表達式。
　　從統計意義上說，所謂時間序列模型就是將某一個指標在不同時間上的不同數值，按照時間的先后順序排列而成的數列。這種數列由于受到各種偶然因素的影響，往往表現出某種隨機性，彼此之間存在著統計上的依賴關系。從數學意義上說，如果我們對某一過程中的某一個變量或一組變量X(t)進行觀察測量，在一系列時刻t1,t2,…,tn(t為自變量，且t1<t2<…<tn)得到的離散有序數集合Xt1,Xt2,…,Xti稱為離散數字時間序列。設X(t:t∈T)是一個隨機過程，Xti(i=1,2,…)是在時刻i對過程X(t）的觀察值，則Xti(i=1,2,…)稱為一次樣本實現，也就是一個時間序列。時間序列模型有很多種類，比較典型的例如ARDL模型，ARIMA模型，VAR模型，ARCH模型及GARCH模型等。
　　二、 模型的建立與歷史數據的分析、預測
　　一般而言，一個“好”的模型，應該具有以下特征：
　　1. 節省性。一個好的模型應在相對精確反映顯示的基礎上盡可能的簡單。
　　2. 可識別性。所謂的可識別性，是指對于給定的一組數據，估計的參數要有唯一確定值。
　　3. 高擬合性。指模型解釋被解釋變量的能力應當盡可能的高。
　　4. 理論一致性。模型應當以相應的科學理論為基礎，否則盡管模型的解釋能力很強，擬合性很好，也是失敗的模型。
　　5. 預測能力。一個好的模型必須對未來有較強的解釋能力。
　　下面，我們以我國1980年至2002年的國內生產總值數據為例，使用多元線性回歸模型進行詳細說明。
　　根據薩繆爾森提出的乘數-加速數模型，投資的增加對國民收入的增加具有乘數作用，反過來，國民收入對引致投資具有加速作用。根據這一模型，我們可以建立如下簡單模型：
　　GDPt=β0+β1GDPt-1+β2It
　　公式1
　　其中，GDP代表全年國內生產總值，I代表當年全社會固定資產投資。
　　下面，我們使用Eviews5.0軟件，使用最小二乘法來估計該模型。
　　
　　
　　圖表1
　　從以上結果可以得到，我們得到具體模型：
　　GDPt=2795.560+0.653687GDPt-1+0.995849It
　　其中R2及AdjustedR2分別為0.995243及0.994743，顯示該模型有著很高的擬合度。
　　但經典線性回歸模型有五個基本前提假設：
　　1) E(ut)=0，即誤差項具有零均值；
　　2) Var(ut)=σ2<，即誤差項具有常數方差，且對于所有x值是有限的；
　　3) Cov(ui,uj)=0，即誤差項之間在統計意義上是相互獨立的；
　　4) Cov(ui,xt)=0，即誤差項與變量x無關；
　　5) ut~N(0,σ2)，即誤差項服從正態分布。
　　這五個前提假設有時候會被違背，其中異方差、自相關及多重共線性出現的情況比較多。
　　異方差是對同方差假設的違反，即Var(ut)=σ2常數。當出現異方差情況時，使用最小二乘法估計的出的模型線性和無偏性不會受影響，但不再具備最優性，即在所有線性無偏估計值中我們得出的估計值的方差并非是最小的，所以的模型的準確性受到影響。下面我們使用ARCH檢驗來檢驗該模型是否有異方差的情況出現。
　　
　　圖表2
　　
　　上圖即為ARCH檢驗的結果。從圖中可得，擬合優度與觀測數的乘積為0.106723*22等于2.347906，F統計量為6.083602，因此接受原假設，該模型沒有異方差情況出現。
　　自相關情況是指經典線性回歸模型的基本假設第三條Cov(ui,uj)=0，即誤差項之間在統計意義上是相互獨立被違反，Cov(ui,uj)0，ij，隨機誤差項的取值與它的前一期或前幾期的取值有關。自相關有正相關和負相關之分，實證表明，在經濟數據中常見的是正自相關。自相關出現的后果有：最小二乘法估計量仍然是線性的和無偏的，但卻不是有效的；最小二乘法估計量的方差是有偏的。這樣會使我們誤認為方程是正確的，但卻又無法用經濟理論解釋。下面我們用Durbin-h檢驗來檢驗模型是否存在自相關。
　　
　　圖表3
　　我們可以看到，其中Durbin-Watson統計值為0.373080。因為存在被解釋變量的滯后項，所以DW檢驗失效，可以采用Durbin-h檢驗法。滯后因變量系數的標準誤差是0.135，DW=0.37，T=23，所以h=5.13。因為5.13大于顯著性水平為0.05正態分布的臨界值1.96，因此我們拒絕不存在序列自相關的原假設。
　　多重共線性是指回歸模型中的任一變量都可以由其它變量的線性組合退出，則這組變量滿足多重共線性。一般來說，多重共線性普遍存在，嚴重的多重共線性將導致：1、回歸方程參數估計值不準確；2、由于參數估計值的標準差變大，t值將縮小，使得t檢驗有可能得出錯誤的結論；3、將無法區分單個變量對被解釋變量的影響作用。多重共線性的檢驗可以通過觀察解釋變量之間的相關系數來判斷。
　　
　　圖表4
　　從上述表格我們可以看出，被解釋變量GDP（-1）與I之間的相關系數高達0.992042。一般來說，當兩個解釋變量之間的相關系數大于0.8，我們就可以認為存在嚴重的多重共線性，因此，該模型兩個被解釋變量之間具有嚴重的多重共線性。
　　三、 結語
　　從上文我們可以看出，盡管我們根據相應的經濟理論建立了一個簡單的模型，并以相應的時間序列數據為基礎，使用最小二乘法對參數進行了估計，得到了一個具有很高擬合優度的模型。但該模型本身存在自相關及多重共線性問題，因此相應估計參數并不精確，并不是一個能夠投入實際使用的，具有真正價值的模型。對于異方差，我們可以使用廣義最小二乘法、模型對數變換法等方法來進行修正；對于自相關，我們可以使用廣義差分法、杜賓兩步法來進行修正；對于多重共線性，我們則可以通過刪除不必要變量、改變解釋變量的形式、補充新數據等方法來進行修正，這些方法的具體內容與本文主題無關，在此就不再贅述。