摘 要 加法結(jié)構(gòu)是以加法和減法概念為核心的概念體系，是兒童在數(shù)學(xué)領(lǐng)域建構(gòu)的第一個(gè)整體性的結(jié)構(gòu)。使用內(nèi)容分析法，以變化題、合并題和比較題為分類標(biāo)準(zhǔn)，研究了加減法實(shí)際問(wèn)題在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的整體分布以及年級(jí)分布，據(jù)此提出了兩點(diǎn)教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象，促進(jìn)加法圖式的建構(gòu);采取多樣化的題型，理解關(guān)系運(yùn)算的算法算理。

　　關(guān)鍵詞 加減法實(shí)際問(wèn)題 加法結(jié)構(gòu) 變化 合并 比較

　　1 加減法實(shí)際問(wèn)題的分類

　　維格諾德[1] 對(duì)加減法實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行過(guò)分析研究，他以實(shí)量、變換次數(shù)和數(shù)量間的關(guān)系是靜態(tài)關(guān)系或動(dòng)態(tài)關(guān)系為標(biāo)準(zhǔn)，將加減法實(shí)際問(wèn)題分為六種基本類型;卡朋特和莫瑟[2] 劃分了應(yīng)用題的一般框架，被許多研究者認(rèn)為能有效區(qū)分兒童解決不同問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的重要差異，這個(gè)框架主要包括“變化、合并、比較、相等”四大類加減法題;孫昌識(shí)[3]在研究?jī)和�認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育時(shí)，劃分了三種類型的加減法應(yīng)用題——變化題、合并題、比較題，用于區(qū)分語(yǔ)義特征明顯不同而詞匯和句法特征基本相同的問(wèn)題。根據(jù)國(guó)內(nèi)外學(xué)者的相關(guān)研究，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于加法結(jié)構(gòu)的問(wèn)題分類基本一致，只是在細(xì)致程度上有一些差異。概括而言，我們將小學(xué)階段一步計(jì)算的加、減法實(shí)際問(wèn)題分為三類：變化題、合并題和比較題，分別對(duì)應(yīng)了維格諾德和卡朋特所劃分的前三種，而卡朋特提出的相等問(wèn)題我們將之歸類于比較題。

　　2 不同類型加減法實(shí)際問(wèn)題

　　在教材中的分布以變化題、合并題和比較題三種問(wèn)題類型為分類標(biāo)準(zhǔn)，本文梳理了蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的所有一步計(jì)算的加、減法問(wèn)題，對(duì)加、減法實(shí)際問(wèn)題在教材中的分布做了統(tǒng)計(jì)和分析。

　　2.1 加減法實(shí)際問(wèn)題在教材中的整體分布根據(jù)圖 1 可以看出，在一步計(jì)算的加法實(shí)際問(wèn)題中，合并題就有 134 題，占了總數(shù)的 71%。在自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)加法的起始課中，也都是使用合并的語(yǔ)境意義讓學(xué)生形成加法問(wèn)題的表征。說(shuō)明在教學(xué)中，教材和教師都是將“合并”作為“加法”的基本概念，進(jìn)行加法意義的建構(gòu)。

　　2.2 加減法實(shí)際問(wèn)題在教材中的年級(jí)分布加減法實(shí)際問(wèn)題不僅在教材中的整體分布比例不同，在各個(gè)年級(jí)的分布更是差異很大。有些年級(jí)學(xué)習(xí)的加、減法題很多，類型也比較全面，而有些年級(jí)基本不涉及加減法的學(xué)習(xí)。從圖 2 中可以看出，教材主要將加法內(nèi)容安排在低年級(jí)。學(xué)前兒童已經(jīng)能夠借助實(shí)物操作或數(shù)手指等計(jì)數(shù)策略解決簡(jiǎn)單的加法問(wèn)題，只是還沒(méi)有學(xué)會(huì)抽象化的數(shù)字運(yùn)算，因此剛?cè)雽W(xué)教材提供大量與實(shí)際生活相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境(以合并題為主)使學(xué)生對(duì)加法原始自發(fā)的認(rèn)知逐步轉(zhuǎn)化為對(duì)問(wèn)題情境的有意義理解。一年級(jí)下學(xué)期，兒童繼續(xù)學(xué)習(xí)類型更加豐富的加法實(shí)際問(wèn)題(包括變化題和合并題)，從而對(duì)加法的認(rèn)知更加完整與規(guī)范，初步形成了加法認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的關(guān)系運(yùn)算。

　　2.3 三種問(wèn)題情境在教材中的年級(jí)分布從圖 3 可以得知，在一二年級(jí)兒童構(gòu)建加法認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵時(shí)期，教材是按照“合并題——變化題——比較題”的先后順序編排實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生從淺入深掌握加減法概念的。根據(jù)孫昌識(shí)的研究結(jié)果[3]，兒童的變化圖式、合并圖式形成較早，此時(shí)加減法概念出現(xiàn)但加法相對(duì)占優(yōu)勢(shì)(一年級(jí)上學(xué)期);隨后變化圖式和合并圖式整合為總體關(guān)系推理圖式，加法與減法在具體水平上整合(一年級(jí)下學(xué)期);而比較圖式建構(gòu)較晚，至此以加減法概念為核心的加法結(jié)構(gòu)才在概念水平上達(dá)到整合(二年級(jí))，即是說(shuō)教材的三種類型實(shí)際問(wèn)題的設(shè)置是符合兒童思維特點(diǎn)和認(rèn)知過(guò)程的。

　　3 促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建加法結(jié)構(gòu)的教學(xué)建議

　　兒童的加法認(rèn)知水平是從直觀感知到邏輯抽象逐漸過(guò)渡的過(guò)程，通過(guò)研究加減法實(shí)際問(wèn)題在教材中的分布特點(diǎn)，結(jié)合加法結(jié)構(gòu)形成、發(fā)展、變化的客觀規(guī)律，發(fā)現(xiàn)教材的問(wèn)題編排有符合兒童認(rèn)知的部分，也有不利于兒童加法結(jié)構(gòu)發(fā)展、整合的地方。這也啟發(fā)我們教學(xué)時(shí)應(yīng)尊重教材、理解教材，也要在把握教材的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)更加合理的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生掌握加減法的概念，發(fā)展加法認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

　　3.1 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象，促進(jìn)加法結(jié)構(gòu)的建構(gòu)

　　兒童在入學(xué)以前已經(jīng)對(duì)加減法有了簡(jiǎn)單的感知，能嘗試解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。因此入學(xué)以后，我們應(yīng)基于學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，逐步進(jìn)行加減法基本概念教學(xué)，引導(dǎo)其抽象出數(shù)學(xué)概念，促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的發(fā)展。教學(xué)時(shí)教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)貼近兒童生活的現(xiàn)實(shí)情境，借助生活經(jīng)驗(yàn)以及實(shí)物操作，幫助學(xué)生從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展;應(yīng)抓住學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵期，結(jié)合簡(jiǎn)單的概念教學(xué)，使學(xué)生理解加減法概念的意義和算理，解決實(shí)際問(wèn)題;應(yīng)結(jié)合加法結(jié)構(gòu)發(fā)展的客觀規(guī)律，把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地組織教學(xué)[4]，從而促進(jìn)兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整合與發(fā)展。

　　3.2 采取多樣化的題型，理解關(guān)系運(yùn)算的算法算理合并的語(yǔ)境意義更容易和加法產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，變化和比較的語(yǔ)境意義更容易和減法產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，因此教材主要通過(guò)合并題促使學(xué)生形成加法概念，通過(guò)變化題和比較題促使學(xué)生形成減法概念。然而這些單一的問(wèn)題練習(xí)過(guò)多會(huì)使兒童形成片面的認(rèn)知——合并即為“加”，去掉即為“減”。從而解題時(shí)受到問(wèn)題呈現(xiàn)方式的支配，看到“一共”“比”等就直接進(jìn)行加減法數(shù)值運(yùn)算，而不去理解題目中的數(shù)量關(guān)系。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充不同類型的加減法實(shí)際問(wèn)題，如給出三個(gè)數(shù)量，教師可以設(shè)置成合并題的情境，也可以設(shè)置成變化題、比較題的情境;如根據(jù)數(shù)量關(guān)系，教師任意改變未知量，讓學(xué)生根據(jù)其他已知量求出結(jié)果。通過(guò)多樣化的題型和變式，使得學(xué)生真正掌握加減法的含義，理解關(guān)系運(yùn)算的算法算理，從而構(gòu)建完整的加法圖式。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] Vergnaud·G. L'enfant,la mathematique et la realite [J].Educational Studies in Mathematics,1982 (8): 347-348.

　　[2] (美)理查德·萊什,瑪莎·蘭多.數(shù)學(xué)概念和程序的獲得[M].孫昌識(shí),苗丹民,等,譯.濟(jì)南:山東教育出版社,1991.

　　《小學(xué)數(shù)學(xué)教材加減法實(shí)際問(wèn)題類型分布的分析》來(lái)源：《科教文匯》，作者：朱 蕾， 顧繼玲。