現(xiàn)實世界中大量存在“亦此亦彼”處于中介過渡狀態(tài)的模糊現(xiàn)象,它所導致的認識和判決過程中的不確定性,就是模糊性。模糊性是人類思維和客觀事物普遍存在的屬性之一。
　　在數(shù)學和哲學領域里,不分明或模糊邏輯已有長久的歷史。當人們發(fā)現(xiàn),并非所有的邏輯判斷陳述句均為同樣程度的“真”或“假”時,模糊邏輯研究就開始了。1965年,美國加州柏克萊大學的扎德(L.A.Zadeh)教授發(fā)表了里程碑性的論文“模糊集合”。在這篇論文中,他第一次用“模糊”(fuzzy)這個詞來表示技術文獻中的“不分明”(vague),并提出當且僅當一個集合破壞了排中律和矛盾律時,該集合為模糊集合,從而把經(jīng)典集合與多值邏輯融為一體,創(chuàng)立了模糊集合論,由此形成了基于模糊集合論的一門新的學科———模糊系統(tǒng)理論。1972年,扎德提出了用模糊語言進行系統(tǒng)描述的方法,為模糊控制的實施提供了有效手段。二十世紀八十年代中后期以來,日本和其它一些發(fā)達國家興起了一股研究模糊技術的熱潮,特別是在日本,采用模糊控制技術的家用電器產(chǎn)品大量涌現(xiàn),倍受用戶青睞。同時,模糊技術在地鐵機車、機器人、過程控制、醫(yī)療以及故障診斷、語音和圖象識別等領域的應用,也獲得了成功論文。
　　在機械設計中也存在大量的模糊信息,如機械零部件設計中,零件的安全系數(shù)常常從保守觀點出發(fā),取較大值而不經(jīng)濟,但在其允許的范圍內存在著很大的模糊區(qū)間;機械制造中加工變量v、f、ap的選取,其允許值和實際選取的值也存在一模糊區(qū)間,在這些區(qū)間里取值與允許值并無多大差別。但區(qū)間內往往含有豐富的工藝參數(shù)信息,并有可能獲得意想不到的結果。如:材料的厚度約為2cm,沖擊力約為8t,零件底部圓角半徑為5～6mm等等。傳統(tǒng)設計模型是先把模糊信息進行一定的簡化,即把模糊信息變成非模糊信息,然后再進行加工。這種設計模型未能有效描述這些信息,也不能直接利用這些信息去進行設計計算。因此在機械設計中引入模糊是很有必要的。
　　一、模糊數(shù)學基礎1.模糊集合及其表示方法論域U上的一個模糊集合A是指,對于Pu∈U,都指定了一個數(shù)μA(u)∈[0,1]與之對應,它叫作u對A的隸屬度(degreeofmembership)。這意味著定義了一個映射μA:
　　μA:U→[0,1],uαμA(u)該映射稱為A的隸屬函數(shù)(membershipfunction),或集函數(shù)(setfunction)。在給定的論域U上,可以有多個模糊集合。設U上模糊集合的全體為F(U),則:F(U)={A|μA:U→[0,1]}
　　正如普通集合完全由特征函數(shù)所刻畫一樣,模糊集合也完全由隸屬函數(shù)所刻畫。μA(u)的值越接近于1,u就越屬于A;反之,μA(u)的值越接近于0,u就越不屬于A。當μA(u)的值域僅為{0,1}時,模糊集合A就蛻化為一個普通集合,μA(u)也就演化為特征函數(shù)。因此,普通集合是模糊集合的特例,模糊集合是普通集合的推廣。
　　為了簡便,可以將模糊集合A本身看作隸屬函數(shù)μA,即:
　　A(u)=μA(u),Pu∈U對于U上模糊集合A,隸屬函數(shù)為μA(u),常見的表示方法有序偶法、Zadeh法和向量法論文。
　　隸屬函數(shù)是模糊集合論賴以建立的基石,合理地確定出模糊集的隸屬函數(shù),對于較準確地描述和表達模糊概念是重要的。目前,建立隸屬函數(shù)常用的方法有模糊統(tǒng)計法、二元對比排序法、經(jīng)驗權重法等,此外常常選擇一些典型的模糊分布,去逼近所研究的模糊集合的隸屬函數(shù)。所謂模糊分布,是指以實數(shù)域R為論域的隸屬函數(shù)。最常見的幾種模糊分布形態(tài)為三角型、正態(tài)型和梯型。均勻分布的隸屬函數(shù)稱為線性隸屬函數(shù),不均勻分布時稱為非線性隸屬函數(shù)。
　　2.模糊集合的運算與普通集合類似,模糊集合也有相等以及包含、交、并、補運算。兩個模糊子集間的運算,就是逐點對隸屬函數(shù)做相應的邏輯運算。設A,B∈F(U),如果對于Pu∈U,均有:
　　(1)μA(u)=μB(u)則稱A和B相等,記為A=B,即:
　　A=BZμA(u)=μB(u)(2)μA(u)≤μB(u)則稱B包含A,或A是B的子集,記為AAB,即:
　　AABZμA(u)≤μB(u)并且分別稱A∪B,A∩B為A與B的并集、交集,稱為Ac為A的補集或余集,其隸屬函數(shù)分別為:
　　Ac:μAc(u)=1-μA(u),Pu∈UA∪B:μA∪B(u)=max{μA(u),μB(u)}=μA(u)∨μB(u),Pu∈UA∩B:μA∩B(u)=min{μA(u),μB(u)}=μA(u)∧μB(u),Pu∈U上述運算是由扎德沿用經(jīng)典邏輯的方法定義的,稱“∨”、“∧”為Zadeh算子,由此得到的模糊集合的包含、交、并、補運算,稱為模糊集的基本運算。
　　為了使模糊集合適合各種不同的模糊現(xiàn)象,人們還相繼提出了不少與“∨”、“∧”相對應的二元運算,這些運算統(tǒng)稱為模糊算子。表1列出了常用的幾種模糊算子對。
　　表中:a∨b=max(a,b),a∧b=min(a,b),a•b=ab(普通乘法),a+∧b=a+b-ab,aε+b=a+b1+ab,aε&b=ab1+(1-a)(1-b),a?b=min(a+b,1),a⊙b=max(0,a+b-1)aγ+ba+∧b-(1-γ)abγ+(1-γ)(1-ab),aγ&b=abγ+(1-γ)(a+∧b),γ∈[0,1]
　　這些算子各有優(yōu)缺點,可根據(jù)具體問題的特性選擇使用。綜上所述,模糊集合A、B的并、交運算的一般形式為:
　　A∪B:μAYB(u)=μA(u)∨3μB(u),Pu∈UA∩B:μAIB(u)=μA(u)∧3μB(u),Pu∈U式中∨3、∧3是[0,1]上的二元運算,分別稱為并型(OR)運算和交型(AND)運算。實際應用中,早期人們多采用扎德算子“∨”、“∧”,近來更多地采用了乘法、加法和除法運算算子。
　　二、機械設計中的模糊問題機械產(chǎn)品的開發(fā)一般要經(jīng)過產(chǎn)品規(guī)劃、方案設計、技術設計、施工設計、產(chǎn)品鑒定等階段,在各階段常會遇到各種模糊問題,雖然這些問題的特點、性質及對計策的要求不盡相同,但所采取的模糊分析方法是相似的,因此僅以技術設計中參數(shù)確定為例說明模糊數(shù)學在機械設計中的應用。
　　機械設計時必須從已給出的參數(shù)取值的一般原則和可行范圍中綜合評判出一個合適的數(shù)值。如安全系數(shù)的確定、帶傳動中心距的確定、齒輪傳動齒寬系數(shù)的選擇等。
　　例如已知某軸承承受徑向力Fr=2000N,軸向力Fa=500N,有輕度沖擊,軸速n=1450r/min,軸剛度較大,對噪音無特別要求,預期壽命15000h,軸徑d=40mm,試選擇軸承類型。
　　Step1:確定模糊集滿足設計要求的軸承有0類、1類、3類、6類、7類。由于軸剛度較大,對調心性要求不高,所以不考慮1、3類軸承。軸承直徑系列代號均選2(輕系列)。經(jīng)軸承壽命計算,三種軸承均滿足壽命要求,因此確定了論域U={u1,u2,u3},其中u1、u2、u3對應的型號分別為208、36208、7208。
　　Step2:確定評價因素假設在論域U上有6個因素對軸承類型的選擇有影響。即{u1,u2,u3,u4,u5,u6}={承受徑向載荷的能力,承受軸向載荷的能力,轉速性能,承受沖擊的能力,噪聲大小,壽命}。
　　Step3:確定隸屬度根據(jù)6個因素,確定u1、u2、u3的隸屬度函數(shù)。將6個因素分為優(yōu)、良、中、差四等,如表2所示,據(jù)此確定隸屬度。
　　Step4:根據(jù)對軸承的要求,作出評判根據(jù)對軸承的要求,對每個因素的隸屬度函數(shù)賦予不同的權值,計算u1、u2、u3的隸屬度,最后根據(jù)最大隸屬度原則,應優(yōu)先選用36208軸承。
　　三、結束語
　　以上論述的模糊綜合評判的基本原理和方法,是決策思維過程的一種數(shù)學描述。其最大特點是,可以將各因素對設計結果的影響進行全面定量地分析,得出綜合的數(shù)量化指標,作為選擇決斷的依據(jù),對原來完全憑經(jīng)驗作出的決策提供了科學的方法。用模糊綜合評判理論進行多因素的決斷,人的主觀因素占有一定的比重,如權重和隸屬度的確定、因素的篩選,最好建立專家系統(tǒng),將模糊推理與專家系統(tǒng)相結合。
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